ON VARIOUS BROCARD-RAMANUJAN-LIKE EQUATIONS

Creative Commons License

Yalçın R., İnam İ., Demirkol Özkaya Z.

Bartın University International Journal of Natural and Applied Sciences, vol.8, no.1, pp.178-183, 2025 (Peer-Reviewed Journal)

Abstract

In this study, the positive integer solutions of the equations

and

𝑚𝑠+2 =(𝑚+1)!+𝑚𝑠

𝑚3 =(𝑚+𝑘)!+𝑚

where 𝑘 ≠ 1 is a positive integer and 𝑠 = 5,6,7, ... , which are analogous to the Brocard-Ramanujan type Diophantine equations, are investigated. Accordingly, it is proven that these equations have no positive integer solutions. The properties of the Γ function are used in the proof of the first theorem, and simple calculations are performed in the proof of the second theorem. The obtained results are consistent with the general literature on the finiteness of solution sets in exponential Diophantine equations containing factorial terms.

Bu çalışmada, Brocard-Ramanujan tipi Diophantine denklemlerin bir benzeri olan
m^3=(m+1)!+m
denkleminin pozitif tamsayı çözümleri incelenmiştir. Brocard-Ramanujan problemi olarak bilinen 
n!+1=m^2 denklemi gibi, faktöriyel ve üs içeren yapılar, çözüm kümelerinin sonluluğu açısından önemli teorik sonuçlara zemin hazırlamaktadır. Bu bağlamda incelenen denklem için önce küçük tamsayı değerleri doğrudan denenmiş ve yalnızca m=2 ve m=3 için denklemin sağlandığı görülmüştür. Daha sonra, faktöriyel fonksiyonunun kübik büyümeye kıyasla hızlı artışı dikkate alınarak, daha büyük değerler için eşitliğin sağlanamayacağı öngörülmüş ve bu durum matematiksel tümevarım yöntemiyle ispatlanmıştır. Yapılan tüm hesaplamalar SageMath ve Wolfram Mathematica yazılımlarıyla desteklenmiştir. Sonuç olarak, verilen denklemin pozitif tamsayı çözümleri yalnızca m=2 ve m=3 ile sınırlıdır. Bu durum, faktöriyel terim içeren üstel Diophantine denklemlerde çözüm kümelerinin sonluluğu yönündeki genel literatürle tutarlıdır.